#1 Visualisation des séries de Fourier

Fonctions périodiques

Une fonction périodique complexe peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales plus simples (fondamentale et harmoniques) et forment ce qu'on appelle le développement en série de Fourier.

Définition du développement en série de Fourier de $f$ noté :

S (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{+∞} a_{n} \cos (nωx) + b_{n} \sin (nωx)

Grâce au calcul des coefficients de Fourier $a_{0}$ , $a_{n}$ et $b_{n}$ on va pouvoir calculer la série de Fourier et observer pour $N$ en tendant vers $+∞$ , la convergence des sommes $S_{N} (f)$ vers la fonction $f$ .

Sommes partielles

La visualisation ci-dessous permet de montrer de façon interactive comment en calculant une série de sommes partielles successivement on converge vers la forme du signal sélectionné. Il suffit d'incrémenter la valeur n dans le champ ci-dessous pour améliorer la précision de l'approximation et observer la convergence.

signal

f

n

La valeur f est la fréquence du signal et la valeur n représente les n premières sommes partielles de Fourier. C'est le nombre de coefficients de Fourier qui seront calculés pour approximer le signal.

Phénomène de Gibbs

La visualisation ci-dessus permet d'observer également le phénomène de Gibbs par exemple avec le signal carré en passant successivement la valeur de n de 5, à 20 puis à 50. Ces artefacts sont toujours présent au niveaux des discontinuités du signal.

A titre d'exemple, la compression JPEG divise une image en blocs et y applique une transformation de Fourier. L'image compressée présente à la suite des transformations une perte d'information qui se traduit par des artefacts sur l'image compressée. Cela s'explique par le fait qu'on calcule qu'une partie réduite (volontairement) des coefficients de Fourier, ce qui engendre une perte irréversible d'information.

Le phénomène se retrouve dans toutes les techniques de compression de données basées sur les séries de Fourier (notamment le MP3).

#2 Application de la transformée de Fourier

La transformée de Fourier est utilisée dans de nombreux domaines pour faire de l'analyse fréquentielle ou spectrale.

On utilise la Transformée de Fourier Rapide qui est un algorithme basé sur la théorie mathématique de la Transformée de Fourier Discrète pour calculer une représentation du spectre du signal échantillonné sur un laps de temps donné.

Définition de la transformée de Fourier Discrète (FFD) :

S (k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} s (n) \cdot e^{- 2 i π k \frac{n}{N}} pour 0 \leq k < N

et la transformée inverse :

s (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} S (k) \cdot e^{2 i π n \frac{k}{N}}

Cette partie nécessite l'accès au microphone (Compatible Chrome/Firefox).

Le diagramme en bâton permet de visualiser le spectre des fréquences du signal échantillonné et la courbe permet de visualiser les changements d'amplitude du signal dans le temps.

Projet traitement du signal

Jérémie Metter-Rothan - IMAC3

#1 Visualisation des séries de Fourier

Fonctions périodiques

Sommes partielles

Phénomène de Gibbs

#2 Application de la transformée de Fourier